均值不等式的一種表達(dá)形式如下,，

如果a、b均為非負(fù)實(shí)數(shù),，那么當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),，等號(hào)成立。

由上述表達(dá)式,，我們可以得到如下結(jié)論：已知a,、b均為正數(shù)，若a+b為定值,，則當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),，ab取得最大值。

示例

已知x>0,，y>0,，且2x+5y=20，則xy的最大值是多少?

在這道題目中,，2x相當(dāng)于a,，5y相當(dāng)于b，則a+b=20,，是定值,，所以當(dāng)且僅當(dāng)a=b，即2x=5y時(shí)，2x×5y存在最大值,，因?yàn)?x=5y且加和等于20,，所以2x=5y=10，求出2x×5y=10xy=100,，即xy最大值為10,。

【應(yīng)用】

例1

某商場(chǎng)銷售一批名牌襯衫平均每天可售出20件，每件盈利40元,。為了擴(kuò)大銷售增加盈利盡快減少庫(kù)存,，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)如果每件襯衫每降價(jià)1元,，商場(chǎng)平均每天可多售出2件,，每件襯衫降低( )元時(shí)，商場(chǎng)每天盈利最多,。

A.12 B.15 C.20 D.25

答案選B,。接下來(lái)通過(guò)本題的解析我們梳理此類題目的解題思路：

(1)找等量關(guān)系，列方程,。

本題所求為利潤(rùn)最值問(wèn)題,，結(jié)合條件可以得出等量關(guān)系：總利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×銷量。分析可得如果售價(jià)下降1元在成本不變的情況下利潤(rùn)即下降1元,，同時(shí)銷量會(huì)增加2件,，這道題可以設(shè)每件襯衫的售價(jià)下降了x元，商場(chǎng)的總利潤(rùn)為y元,，那么可列出方程y=(40-x)×(20+2x),。

(2)湊配定和，求極值,。

y=(40-x)×(20+2x),，由前面學(xué)習(xí)的均值不等式的結(jié)論可知，要想求兩部分乘積的最大值,，需要這兩部分的加和為定值,，而我們會(huì)發(fā)現(xiàn)40-x和20+2x的加和并不是常數(shù)，所以不為定值,，那么就需要未知數(shù)在加和后抵消掉,，則可將方程變形為y=2×(40-x)×(10+x)，此時(shí)40-x與10+x的和為定值,，所以當(dāng)且僅當(dāng)40-x=10+x,，即x=15時(shí)，y存在最大值,，答案為B,。

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