2021-09-02 11:50:32 公務(wù)員考試網(wǎng)
文章來源:廣東分院
多集合反向構(gòu)造是行測(cè)數(shù)量的一種常見題型,常見的題目提問方式是問“所有條件都滿足的個(gè)數(shù)至少是多少?”條件之間是可以交叉重合的,,初看與容斥問題很像,,按照容斥問題的思路解題會(huì)很復(fù)雜,,但只要應(yīng)用逆向思維,,解題難度即可大幅下降,。
我們來看以下例題:
【例1】閱覽室有100本雜志,小趙借閱過其中75本,,小王借閱過70本,,小劉借閱過60本,,則三人共同借閱過的雜志最少有( )本。
A.5 B.10
C.15 D.30
【答案】A
【解析】例1中描述了“小趙借閱過”“小王借閱過”“小劉借閱過”三個(gè)條件,,雜志是可以被這三人都借閱過的,,存在交叉重合的可能性,看起來跟容斥問題很像,。實(shí)際上這種題目也可以用容斥的思路來解決,,我們先按照這個(gè)思路解題,,后面再用逆向思維進(jìn)行對(duì)比,。
圖1 容斥關(guān)系示意圖
如圖1所示,,題目所求的“三人共同借閱過的雜志”是圖中的x所代表的區(qū)域,若按照三集合容斥問題的公式去考慮,還有a,、b、c三個(gè)區(qū)域缺乏相應(yīng)的數(shù)據(jù),。我們先按照容斥的公式可得,,整理得①。同時(shí),,a、x,、b這三個(gè)區(qū)域只是小趙借閱過的書籍的一部分,因此有:②,,同理可得
③,④,,將②③④相加可得⑤。①×2-⑤可得x≥5,。因此,答案選擇A選項(xiàng),。
上述的解法雖然直觀,但是解不定方程組的繁瑣過程相信“勸退”了不少的考生,。如果我們換個(gè)角度,采用逆向思維,,則解法可以得到極大的簡(jiǎn)化。
雜志總數(shù)100本不變,,當(dāng)求“三人共同借閱過的雜志”的最小值,相當(dāng)于求“沒有三人共同借閱過的雜志”的最大值,。小趙借閱過其中75本,即小趙沒借閱過其中的25本;小王借閱過70本,,即小王沒借閱過其中的30本;小劉借閱過60本,即小趙沒借閱過其中的40本,。只要任何一個(gè)人沒有借閱過,都屬于“沒有三人共同借閱過的雜志”,。
那么什么時(shí)候是最大呢?當(dāng)小趙沒借閱過的雜志,、小王沒借閱過的雜志和小劉沒借閱過的雜志不存在重疊時(shí),,即為最大值,此時(shí)為25+30+40=95(本),。因此“三人共同借閱過的雜志”的最小值是100-95=5(本)。
同樣的結(jié)果,,是否比原來的解法要簡(jiǎn)便很多呢?我們可以把這個(gè)思路歸納為三步:反向,求和,,做差。在我們逆向思維求解的過程中,,跟可能存在交叉重疊的條件個(gè)數(shù)是沒有關(guān)系的,因此,,只要題目是問“……都……至少……”,都可以采取這種思路快速求解,。
圖2 多集合反向構(gòu)造思維導(dǎo)圖
下面我們馬上學(xué)以致用,,用這個(gè)思路來求解下面的題目吧,。
【例2】某中學(xué)在高考前夕進(jìn)行了四次語文模擬考試,,第一次得90分以上的學(xué)生為70%,,第二次是75%,第三次是85%,,第四次是90%,請(qǐng)問在四次考試中都是90分以上的學(xué)生至少是多少?( )
A.40% B.30%
C.20% D.10%
【答案】C
【解析】第一步是反向,,依題意得第一次沒有得90分以上的學(xué)生為30%,第二次沒有得90分以上的學(xué)生為25%,,第三次沒有得90分以上的學(xué)生為15%,第四次沒有得90分以上的學(xué)生為10%,。第二步是求和,沒有四次考試中都是90分以上的學(xué)生最多占30%+25%+15%+10%=80%,。第三步做差,四次考試中都是90分以上的學(xué)生至少占100%-80%=20%,。因此,,答案選C。你做對(duì)了嗎?
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