容斥問題是數(shù)量關系�,？碱}型之一,，其考查頻次低于經(jīng)濟利潤問題，行程問題,，幾何問題,，排列組合與概率等考點。雖然容斥問題的考查頻次低于上述高頻考點,，但容斥問題一旦考查到考生經(jīng)常會出錯,。究其原因，是因為考生不太熟悉容斥問題,。在中學階段,，考生并未學習容斥問題。雖然容斥問題和集合有關系,，但中學階段并未系統(tǒng)型地闡述兩者之間的關系,，也未涉及到相關的習題。因此對大多數(shù)考生而言,，容斥問題是新的考點,，是以前的學習中未曾接觸的考點，因此做題過程中經(jīng)常出錯,。而三集合的容斥問題,，考生更容易出錯。接下來介紹三集合中�,？嫉臉藴市秃头菢藴市凸���,。

一 、 三集合標準型公式

三集合標準型公式：A+B+C-(AB+BC+AC)+ABC=總的-三者都不。

關鍵記住左邊各項及正負號,，單個的是加號,，兩兩相交的是減號，三三相交的是加號,，即“+”,、“-”,、“+” ,。

【例 1 】 針對100名旅游愛好者進行調查發(fā)現(xiàn)，28人喜歡泰山,，30人喜歡華山,，42人喜歡黃山，8人既喜歡黃山又喜歡華山,，10人既喜歡泰山又喜歡黃山,，5人既喜歡華山又喜歡泰山，3人喜歡這三個景點,，則不喜歡這三個景點中任何一個的有多少人?

A.20 B.18

C.17 D.15

E.14 F.13

G.12 H.10

【答案】 A

【解析】 本題問的是 不喜歡 三個景點中任何一個的有多少人,，即三個都不喜歡的有多少人，結合題干判定本題為三集合容斥問題 ,。設三個景點都不喜歡的有 x 人,，根據(jù)三集合標準型公式：A+B+C-(AB+BC+AC)+ABC=總的-三者都不，得 28+30+42-(8+10+5)+3=100-x ,，解得 x=20 ,。 因此，選擇 A 選項 ,。

三集合標準型難度不大,，直接套公式即可 。三集合容斥問題關鍵是判斷題型,，當題干中出現(xiàn)“三者都”或者“三者都不”時,，要想到三集合的容斥問題。如果題干的已知條件完全匹配標準型公式,，直接用標準型公式即可,。

二 、 三集合非標準型公式

三集合非標準型公式：A+B+C-滿足兩個的-2×滿足三個的=總的-三者都不

在三集合非標準型公式中,，滿足兩個的只需要減掉一次,，而滿足三個的需要減掉兩次，即三者都需要減兩次,。

【例 2 】某企業(yè)調查用戶從網(wǎng)絡獲取信息的習慣,，問卷回收率為90%，調查對象中有179人使用搜索引擎獲取信息,，146人從官網(wǎng)站獲取信息,，246人從社交網(wǎng)站獲取信息,，同時使用這三種方式的有115人，使用其中兩種的有24人,，另有52人這三種方式都不使用,，問這次調查共發(fā)出了多少份問卷?

A. 310 B. 360

C. 390 D. 410

【答案】 D

【解析】 本題 題干中出現(xiàn)了 “三者都”、“三者都不” ,，判定本題求的是 三集合容斥問題 ,。設本次回收的問卷數(shù)量為 x， 根據(jù)三集合非標準型公式,， 得 179+146+246-24-2×115=x-52 ,， 解得 x= 369 。根據(jù)問卷回收率為 90%,，可得發(fā)出問卷的數(shù)量為369÷90%=410(份),。 因此，選擇 D 選項 ,。

在三集合容斥問題中,，如果出現(xiàn)了“滿足兩個”或者“只滿足兩個”，就要考慮是否可以用三集合非標準型公式,。

【例 3 】一個班級組織跑步比賽,，共設100米、200米,、400米三個項目,。班級有50人，報名參加100米比賽的有27人,，參加200米比賽的有25人,，參加400米比賽的有21人。如果每人最多只能報名參加2項比賽,，那么該班最多有多少人未報名參賽?

A. 11 B. 12

C. 13 D. 14

【答案】 C

【解析】 本題 題干中出現(xiàn)了 每人最多只能報名參加2項比賽,，即出現(xiàn)了 “只滿足兩個” ，判定本題求的是 三集合容斥問題 ,。 根據(jù) 每人最多只能報名參加2項比賽,，則報名三項比賽的人數(shù)為 0。 設參加兩項 比賽 的有 x人,，未報名參賽的有y人,， 根據(jù)三集合非標準型公式， 得 27 + 25 + 21 - x - 0 = 50 - y,，化簡得y=x - 23,。要使y盡量大，則x盡可能大。要使x盡可能大,，則每個人盡量 參加兩項比賽,，參加兩項比賽的人最多為( 27+25+21 ) ÷2=36.5，人數(shù)必須為整數(shù),， x 最多是36人,。 解得 y = 36-23= 13 。因此,，選擇 C 選項 ,。

小結： 1.三集合標準型公式涉及的量較多，條件較為苛刻,。如果出現(xiàn)了兩兩相交,，考慮用標準型公式,。

2.三集合容斥問題中,，如果出現(xiàn)“滿足兩個”或者“只滿足兩個”，考慮用非標準型公式,。

3.在三集合標準型和非標準型公式中,， “三者都”、“三者都不”可以取 0 ,。

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