在數(shù)量關(guān)系中,，有很多題型不需要過多的計(jì)算，而更深層次的是考查我們的數(shù)學(xué)思維,，說道數(shù)學(xué)思維,，好多同學(xué)就在心里默默地嘀咕了,，我從大到小這個數(shù)學(xué)思維呀,，沒咋有過,，太難了，老師你說的太玄學(xué)了,，有沒有簡單的辦法讓我提高一下數(shù)學(xué)思維呢,，好的那今天老師就針對數(shù)量關(guān)系里的容斥問題,，給大家講講他的解題方法和技巧,。先來給大家加加油![l2]

容斥問題在高中的時候涉及過,，多個集合之間的關(guān)系相互包容的地方,、排斥的地方,。容斥原理一般考查兩集合容斥和三集合容斥，用公式來做題,，還有一些非主流的題目，用公式做不出來或者更麻煩，用畫圖法解決,。

【例1】(2017 江西)某鄉(xiāng)有32戶果農(nóng)，其中有26戶種了柚子樹,，有24 戶種了橘子樹,，還有5戶既沒有種柚子樹也沒有種橘子樹，那么該鄉(xiāng)同時種植柚子樹和橘子樹的果農(nóng)有：

A.23 戶 B.22 戶

C.21 戶 D.24 戶

解析：有的人選擇柚子(A集合),，有的人選擇橘子(B集合),，多集合之間的關(guān)系，即容斥問題,，總共出現(xiàn)兩個集合,，公式：A+B-A∩B=總-都不，設(shè)同時種植柚子樹和橘子樹的果農(nóng)為 x,，26+24-x=32-5,，做容斥問題有加加減減,，可以用尾數(shù)法,，x=尾數(shù)0-尾數(shù)7=尾數(shù)3,，對應(yīng)A項(xiàng)�,！具xA】

例2：(2018 陜西)有關(guān)部門對120種抽樣食品進(jìn)行化驗(yàn)分析,，結(jié)果顯示,，抗氧化劑達(dá)標(biāo)的有68種,，防腐劑達(dá)標(biāo)的有77種,，漂白劑達(dá)標(biāo)的有59種，抗氧化劑和防腐劑都達(dá)標(biāo)的有54種,，防腐劑和漂白劑都達(dá)標(biāo)的有43種，抗氧化劑和漂白劑都達(dá)標(biāo)的有35種,，三種食品添加劑都達(dá)標(biāo)的有30種,，那么三種食品添加劑都不達(dá)標(biāo)的有( )種。

A.14 B.15

C.16 D.17

E.18 F.19

G.20 H.21

解析：由題意可知出現(xiàn)三個概念,，抗氧化劑達(dá)標(biāo)的有68種(選擇A),，防腐劑達(dá)標(biāo)的有77種(選擇 B),，漂白劑達(dá)標(biāo)的有59種(選擇C),，為三集合的容斥問題，抗氧化劑和防腐劑都達(dá)標(biāo)的有54種,，則A∩B=54,，防腐劑和漂白劑都達(dá)標(biāo)的有43種,，則A∩C=43,，抗氧化劑和漂白劑都達(dá)標(biāo)的有35種,，則B∩C=35，三種食品添加劑都達(dá)標(biāo)的有30種,，則A∩B∩C=30，直接套公式,，A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=總數(shù)-都不,，設(shè)都不達(dá)標(biāo)為x代入數(shù)據(jù)：68+77+59-54-43-35+30=120 -x,，選項(xiàng)尾數(shù)各不相同,，考慮尾數(shù)法,，等式左邊的尾數(shù)為2=120-x，則x的尾數(shù)為8,，對應(yīng)E項(xiàng)�,！具xE】

例3：(2015 深圳)某大學(xué)法學(xué)院72名研究生當(dāng)中有36人是中國法律援

助網(wǎng)志愿者,，有28人是廣東省法律援助中心志愿者,，還有一些同學(xué)是學(xué)校法律

援助協(xié)會會員。已知參加學(xué)校法律援助協(xié)會的人數(shù)是既是中國法律援助網(wǎng)志愿者

又參加學(xué)校法律援助協(xié)會人數(shù)的3倍,，是三種組織均參加了的人數(shù)的6倍;既參加了學(xué)校法律援助協(xié)會又是廣東省法律援助中心志愿者的人數(shù)是三種組織都參加了的人數(shù)的2倍;既是中國法律援助網(wǎng)志愿者又是廣東省法律援助中心志愿者

的人數(shù)有10人，則參加了學(xué)校法律援助協(xié)會的有( )人,。

A.24 B.28

C.36 D.48

解析：本題的題干長,，但是并不是難題,。已知總?cè)藬?shù)為72人，出現(xiàn)三個集合,，中國志愿者,、廣東志愿者,、學(xué)校法律援助協(xié)會,，三集合容斥問題,。邊讀題邊把標(biāo)數(shù)據(jù),，中國志愿者=36人，廣東志愿者=28人,，學(xué)校法律援助協(xié)會是中∩學(xué)的3倍,，學(xué)校法律援助協(xié)會是中∩廣∩學(xué)的6倍,，廣∩學(xué)是中∩廣∩學(xué)的2倍，理清倍數(shù)關(guān)系,，中∩廣=10人,，有很多數(shù)據(jù)未知,，需要設(shè)未知數(shù)，設(shè)其中一個,，根據(jù)倍數(shù)關(guān)系表示,，設(shè)小不設(shè)大，設(shè)三者的交集中∩廣∩學(xué)為 x,，則廣∩學(xué)為2x,，學(xué)校法律援助協(xié)會為6x，中∩學(xué)為 6x/3=2x,，公式：A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=總數(shù)-都不,，都不沒有提到，默認(rèn)為0,，應(yīng)該補(bǔ)充條件72人至少參加1種援助,，代入數(shù)據(jù)36+28+6x-10-2x-2x+x=72-0，3x=18,，解得x=6,，則學(xué)校法律援助協(xié)會=6x=36，對應(yīng)C項(xiàng),。【選 C】

我用三道例題呢給大家把容斥問題呢用數(shù)學(xué)的思維解了出來,，沒有大量的計(jì)算,，但是用到了我們高中所用到的知識，我們的備課周期短,，且知識點(diǎn)雜,，亂，如果要想正對這類題目要有更深，更快的解題方法,，好的,，華圖線下有很多課程，我在線下等你們,。

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