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2019社區(qū)工作者備考：如何解決等差數(shù)列之實心三角形問題？

2019-11-25 14:56:46 社區(qū)工作者考試 http://czjtsc.com/shehui/ 文章來源：華圖教育

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等差數(shù)求和在公務員考試當中考查的頻率相對較少,，但在2019年遼寧省考當中都有涉及，不少參加考試的同學反映即使記住了等差數(shù)列求和的公式,，做2019年考的這兩道題也比較費勁,。究其原因,，是沒選對做題方法。

正所謂會者不難，難者不會,，只有使用正確的解題方法才能快速地解題,，在考試中如果只會求和公式，而沒有掌握正確的解題方法,，只能事倍功半,，浪費寶貴的時間,。

一,、初識理論

等差數(shù)列在數(shù)值比較小的情況下往往并不會用到等差數(shù)列求和的公式，需要通過枚舉法來解題,。之所以能使用枚舉法，在于當公差為1時,，等差數(shù)列的前n項和比較容易計算，同學們不妨一起來枚舉一下,，前10項之和分別為1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,。這些數(shù)值只需要有個大概的印象，做題時現(xiàn)推即可,。

二、理論詳解及應用

1,、等差數(shù)列之排名問題

【例1】(2014山東)某單位舉辦圍棋聯(lián)賽，所有選手的排名都沒有出現(xiàn)并列名次。小周發(fā)現(xiàn)除自己以外,，其他所有人排名數(shù)字之和正好是70,。問小周排名第幾?

A. 7B. 8

C. 9D. 10

【思路點撥】選手的排名沒有并列名次，說明排名是一個公差為1的等差數(shù)列,，設(shè)總?cè)藬?shù)為n，則這個數(shù)列的前n項和為Sn。根據(jù)題意：Sn-小周名次=70,。依次枚舉公差為1的等差數(shù)列的前n項和,，發(fā)現(xiàn)當n取1~6時，Sn都小于70;當n=7時,，Sn=78,，可以得出小周排名第8;當n的取值繼續(xù)變大時,，小周排名與總?cè)藬?shù)n矛盾,。因此,，選擇B選項,。

2,、等差數(shù)列之實心三角形

【例2】(遼寧2018公檢法)現(xiàn)有60枚1元硬幣，若把它們在平面上緊密排列成正三角形,，要使剩下的硬幣盡可能少，則三角形的最大邊長是：

A. 11B. 10

C. 8D. 6

【思路點撥】平面上密集排列成正三角形可知,，第一層1枚,，第二層2枚，第三層3枚,，……第n層n枚,，是公差為1的等差數(shù)列。一共60枚,，因為數(shù)據(jù)比較少,，考慮用枚舉法解題,，通過枚舉我們可以知道前n項和的數(shù)值,，前10項和為55,，再多加一項就超過60了,，所以邊長最長應該是10,。因此,，選擇B選項,。

3、等差數(shù)列-方陣問題

【例3】(2019省考省部級)園丁將若干同樣大小的花盆在平地上擺放為不同的幾何圖形，發(fā)現(xiàn)如果增加5盆,，就能擺成實心正三角形，如果減少4盆,，就能擺成每邊多于1個花盆的實心正方形,，問將現(xiàn)有的花盆擺成實心矩形，最外層最少有多少盆花?

A. 22B. 24

C. 26D. 28

【思路點撥】本題是一個等差數(shù)列和方陣相結(jié)合的問題，比較難,，很多同學通過代入法求解,，那么有沒有其他方法呢?這里就給大家介紹另一種方法。讀題后我們發(fā)現(xiàn)本題解題的關(guān)鍵在于要知道花盆到底有多少個。

根據(jù)題干增加5盆能擺成實心正三角形,，說明(花盆數(shù)+5)為一個公差為1的等差數(shù)列前n項和;減少4盆能擺成實心正方形,，說明(花盆數(shù)-4)是一個平方數(shù),。由此可以推出,，如果能找到一個n使公差為1的等差數(shù)列的前n項和減去9是個大于1的平方數(shù)，那么就可以求出n進而求出花盆數(shù),。當然為了讓最外層的花盆盡量的少，我們要讓n的取值盡量的小,。

依次枚舉出公差為1的等差數(shù)列的前n項進行驗證,，發(fā)現(xiàn)當n=9時,，前n項和為45，45減去9之后是36為完全平方數(shù),，此時n也是滿足題意的最小的一個數(shù),，因此取n=9。此時花盆數(shù)為45-5=40(盆),，我們就確定了最少有40個花盆,。

推導到這,，等差數(shù)列相關(guān)的工作就做完了,，剩下的工作就是求最外圈最少有多少盆花了,。根據(jù)幾何極值理論,，當圖形的周長相等時,，越接近圓,，周長越短。故當矩形的兩條邊長度最接近時，最外層花盆最少。40盆花可以表示成1×40;2×20;4×10;5×8，邊長分別為5和8時最接近,，此時最外層花盆數(shù)最少,。這時最外層花盆數(shù)為(8+5-1)×2=22(盆),。因此,，本題選擇A選項。

三,、技巧小結(jié)

枚舉法屬于省考考試中非常高頻的解題技巧,，而枚舉法也會經(jīng)常延伸為枚舉之后找規(guī)律。在近些年省考中最高頻的枚舉規(guī)律之一即是與等差數(shù)列相結(jié)合,，這些題目最關(guān)鍵的一步就是通過枚舉法列舉等差數(shù)列前n項和,。

希望上述總結(jié)，能為大家提供一些幫助,，也希望大家平日能夠掌握原理,，多加練習，在考場中取得好成績!

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