不定方程是指未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于獨(dú)立方程個(gè)數(shù)的一類方程。一般形式為：ax+by=c,，其中,，ab≠0,且a，b,，c均為正整數(shù),。一般題目中會(huì)規(guī)定關(guān)于x、y的取值條件,，從而確定其取值,。

不定方程在數(shù)量關(guān)系的考查中一直是很重要的題型之一，國(guó)考及聯(lián)考常有涉及,，尤其在國(guó)考中考查的頻率較高,。不定方程的考查方式比較固定，規(guī)律性強(qiáng),，在數(shù)量關(guān)系中反而是容易掌握的一種題型,。那我們今天來(lái)一起了解不定方程的幾種常見的解題方法：

1.代入排除

在行測(cè)考試中，數(shù)量關(guān)系均為客觀題，每道題目都有對(duì)應(yīng)的四個(gè)選項(xiàng),，在沒(méi)有其它思路的情況下,，最快解不定方程的方法就是根據(jù)題意列好方程后，結(jié)合選項(xiàng)依次進(jìn)行代入驗(yàn)證,，找到唯一符合題干條件的選項(xiàng),，即為正確答案。具體運(yùn)用如下題：

【例】辦公室工作人員使用紅,、藍(lán)兩種顏色的文件袋裝29份相同的文件,。每個(gè)紅色文件袋可以裝7份文件，每個(gè)藍(lán)色文件袋可以裝4份文件,。要使每個(gè)文件袋都恰好裝滿,，需要紅色、藍(lán)色文件袋的數(shù)量分別為多少個(gè)：

A.1,、6

B.2,、4

C.3、2

D.4,、1

【分析】第一步,，本題考查不定方程問(wèn)題，用代入排除法解題,。

第二步,，設(shè)紅、藍(lán)文件袋數(shù)量分別為x,、y,，由恰好裝滿，可得7x+4y=29,�,？梢来未�入選項(xiàng)：

A選項(xiàng)，7×1+4×6≠29,，排除;

B選項(xiàng),，7×2+4×4≠29，排除;

C選項(xiàng),，7×3+4×2=29,，符合題意。

因此,，選擇C選項(xiàng),。

2.奇偶性

奇偶性是解不定方程很常見的方法。即結(jié)合式子中已知量的奇偶性來(lái)推導(dǎo)式子中未知數(shù)的奇偶性,。但是在用好奇偶性解題之前要熟悉奇偶的性質(zhì)：

(1)偶數(shù)±偶數(shù)=偶數(shù);奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù);偶數(shù)±奇數(shù)=奇數(shù)

性質(zhì)1：任意兩個(gè)數(shù)性質(zhì)相同(同奇或同偶),，則這兩個(gè)數(shù)兩個(gè)數(shù)的和(差)一定為偶數(shù);任意兩個(gè)數(shù)性質(zhì)相反(一奇一偶),，則這兩個(gè)數(shù)兩個(gè)數(shù)的和(差)一定為奇數(shù)。逆推則

為奇反偶同,。

偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù);奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù);偶數(shù)×奇數(shù)=偶數(shù)

性質(zhì)2：任意兩個(gè)數(shù)相乘，若可以確定其中一個(gè)數(shù)為偶數(shù),，那么這兩個(gè)數(shù)的乘積一定為偶數(shù),。反之，任意兩個(gè)奇數(shù)相乘,，乘積一定為奇數(shù),，即有偶則偶。

結(jié)合以上的奇偶性質(zhì),，在不定方程一般式中的ax,，by，c三個(gè)量中,，若已知ax和c或者已知by和c的奇偶性,，則可推導(dǎo)剩余量的奇偶性，進(jìn)一步確定x或y的取值,。具體運(yùn)用如下題：

【例】某兒童藝術(shù)培訓(xùn)中心有5名鋼琴教師和6名拉丁舞教師,，培訓(xùn)中心將所有的鋼琴學(xué)員和拉丁舞學(xué)員共76人分別平均地分給各個(gè)老師帶領(lǐng)，剛好能夠分完,，且每位老師所帶的學(xué)生數(shù)量都是質(zhì)數(shù),。后來(lái)由于學(xué)生人數(shù)減少，培訓(xùn)中心只保留了4名鋼琴教師和3名拉丁舞教師,，但每名教師所帶的學(xué)生數(shù)量不變,，那么目前培訓(xùn)中心還剩下學(xué)員多少人?

A.36

B.37

C.39

D.41

【分析】第一步，本題考查不定方程問(wèn)題,。

第二步,，設(shè)每名鋼琴、拉丁舞老師分別帶領(lǐng)學(xué)員x,、y人,，由共76人，可列不定方程5x+6y=76,。根據(jù)奇偶特性,，其中6y、76為偶數(shù),，則5x為偶數(shù),，故x既為偶數(shù)也為質(zhì)數(shù)，2是唯一的偶質(zhì)數(shù),，所以x=2,，y=11,，即每名鋼琴老師帶2名學(xué)員，每名拉丁舞老師帶11名學(xué)員,。

第三步,，由所帶學(xué)生數(shù)不變可得，剩余學(xué)員有4×2+3×11=41(人),。

因此,，選擇D選項(xiàng)。

3.尾數(shù)法

在不定方程ax+by=c中,，當(dāng)未知數(shù)(x,y)前面的系數(shù)以0或者5結(jié)尾時(shí),，可以考慮用尾數(shù)法來(lái)解不定方程。因?yàn)槿魏握�整�?shù)與5的乘積其尾數(shù)只有0或5兩種可能(其中5與偶數(shù)的乘積尾數(shù)為0,，5與奇數(shù)的乘積尾數(shù)為5),，任何正整數(shù)與0的乘積其尾數(shù)只能為0�,；�于這樣的規(guī)律,，我們就可以通過(guò)確定的尾數(shù)來(lái)判斷未知數(shù)的取值。尾數(shù)法在解不定方程中使用頻率較低,，常常與奇偶性結(jié)合起來(lái)使用,。具體運(yùn)用如下題：

【例】超市將99個(gè)蘋果裝進(jìn)兩種包裝盒，大包裝盒每個(gè)裝12個(gè)蘋果,，小包裝盒每個(gè)裝5個(gè)蘋果,，共用了十多個(gè)盒子剛好裝完。問(wèn)兩種包裝盒相差多少個(gè)?

A.3

B.4

C.7

D.13

【分析】第一步,，本題考查基礎(chǔ)應(yīng)用題,，用不定方程解題。

第二步,，設(shè)大,、小包裝盒各有x、y個(gè),，由大盒每個(gè)裝12個(gè),、小盒每個(gè)裝5個(gè)，可知12x+5y=99,。根據(jù)奇偶特性,，其中12x為偶數(shù)、99為奇數(shù),，故5y為奇數(shù),，可得y為奇數(shù)，所以,，其尾數(shù)為5,。此時(shí)12x尾數(shù)為9-5=4,，可得x=2或x=7。

第三步,，代入驗(yàn)證,，當(dāng)x=2時(shí)，y=15,，符合共十多個(gè)盒子,，此時(shí)15-2=13;當(dāng)x=7時(shí)，y=3,，不符合共十多個(gè)盒子(剛好十個(gè)),。故兩種包裝盒相差13個(gè),。

因此,，選擇D選項(xiàng)。

4.倍數(shù)(整除)法

倍數(shù)法是解不定方程較常用的方法,。即通過(guò)觀察不定方程ax+by=c中,，ax或by與c之間是否有共同的公約數(shù)(或共同被某個(gè)非1的整數(shù)整除)，從而判斷x或y含某個(gè)因數(shù)來(lái)確定取值,。例如,，ax+by=c中，若ax為5的倍數(shù)且c也為5的倍數(shù),，那么就可確定by也為5的倍數(shù),，當(dāng)b不是5的倍數(shù)時(shí)，則y為5的倍數(shù),，則y的取值可為5,，10，15,，20……;具體運(yùn)用如下題：

【例】高校的科研經(jīng)費(fèi)按來(lái)源分為縱向科研經(jīng)費(fèi)和橫向科研經(jīng)費(fèi),，某高校機(jī)械學(xué)院2015年前4個(gè)月的縱向科研經(jīng)費(fèi)和橫向科研經(jīng)費(fèi)的數(shù)字從小到大排列為20、26,、27,、28、31,、38,、44和50萬(wàn)元。如果前4個(gè)月縱向科研經(jīng)費(fèi)是前3個(gè)月橫向科研經(jīng)費(fèi)的2倍,，則該校機(jī)械學(xué)院2015年第4個(gè)月的橫向科研經(jīng)費(fèi)是多少萬(wàn)元?

A.26

B.27

C.28

D.31

【分析】第一步,，本題考查不定方程問(wèn)題。

第二步,，設(shè)前3個(gè)月橫向科研經(jīng)費(fèi)為x,，第4個(gè)月橫向科研經(jīng)費(fèi)為y,，則前4個(gè)月縱向科研經(jīng)費(fèi)為2x。根據(jù)題意可得,，x+y+2x=20+26+27+28+31+38+44+50,，化簡(jiǎn)為3x+y=264。由于3x與264皆為3的倍數(shù),，故y必為3的倍數(shù),，結(jié)合選項(xiàng)，只有27符合,。

因此,，選擇B選項(xiàng)。

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以上就是本期向大家介紹的解普通不定方程的4個(gè)方法,。希望大家在理解的基礎(chǔ)上能夠進(jìn)一步熟練應(yīng)用。后續(xù)還有關(guān)于不定方程組求解的方法繼續(xù)給大家分享,。希望大家登錄華圖教育官網(wǎng)查看學(xué)習(xí)!

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