行測(cè)考試中，幾何問(wèn)題是考查頻次較高的一個(gè)知識(shí)點(diǎn),，考查范圍可能是平面幾何或者立體幾何,。但在立體幾何中,，有這樣一類題型，就是讓一只“螞蟻”或者“壁虎”從幾何體中的某一個(gè)點(diǎn)到另外一個(gè)點(diǎn),，求螞蟻爬行的最短距離,。立體幾何實(shí)際上考查的是考生的空間想象能力，看考生是否能將數(shù)形結(jié)合的思想運(yùn)用于其中,，解決這一類題型最有效的辦法是將立體幾何展開(kāi)構(gòu)成一個(gè)平面圖形,，然后再進(jìn)行分析計(jì)算。那么,，問(wèn)題來(lái)了,。請(qǐng)各位小伙伴思考一個(gè)問(wèn)題，是否所有的路徑最短問(wèn)題都是拆立體幾何為平面圖形嗎?

【例1】一只螞蟻從右圖的正方體頂點(diǎn)沿正方體的表面爬到正方體頂點(diǎn),，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為a,，問(wèn)該螞蟻爬過(guò)的最短路程為：

A.aB.a

C.()aD.()a

【答案】B

【解析】如下圖所示，把題干中的立體幾何正面展開(kāi)構(gòu)成平面幾何,，則螞蟻所爬行的路徑為AC,，因“兩點(diǎn)之間直線距離最短”，為此只需要求出AC的長(zhǎng)度即可,。因?yàn)橹苯侨�角��,，為此AC==

因此，選擇B答案,。

【例2】長(zhǎng),、寬、高分別為12cm,、4cm,、3cm的長(zhǎng)方體上，有一個(gè)螞蟻從A出發(fā)沿長(zhǎng)方體表面爬行到獲取食物,，其路程最小值是多少cm?

A.13B.

C.D.17

【答案】B

【解析】如下圖所示,，仍然將長(zhǎng)方體展開(kāi)為平面圖形，根據(jù)題干所求為的長(zhǎng)度,，三角形為正方形,，根據(jù)勾股定理即可求出，即=

因此,，選擇B答案,。

經(jīng)過(guò)以上兩個(gè)例子，不難看出,，求幾何體中路徑最短問(wèn)題,，都是將立體幾何拆成平面幾何，然后采用勾股定理即可求出,。那么,，問(wèn)題又來(lái)了,。是不是所有的立體幾何拆成平面幾何以后，它所經(jīng)過(guò)的行徑就是最短距離呢?請(qǐng)接著往下看,。

【例3】一個(gè)不計(jì)厚度的圓柱型無(wú)蓋透明塑料桶,，桶高2.5分米,，底面周長(zhǎng)為24分米,，AB為底面直徑,。在塑料桶內(nèi)壁桶底的B處有一只蚊子,，此時(shí),，一只壁虎正好在塑料桶外壁的A處,，則壁虎從外壁A處爬到內(nèi)壁B處吃到蚊子所爬過(guò)的最短路徑長(zhǎng)約為：

A.10.00分米B.12.25分米

C.12.64分米D.13.00分米

【答案】C

【解析】壁虎需要從外壁爬到內(nèi)壁去吃蚊子,，為此最短路徑問(wèn)題有兩種情況需要考慮,。

(1)情況一：圓柱側(cè)面不展開(kāi),，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短,，壁虎可以先豎直走上去，然后豎直走下去,，再走直徑(桶是中空的),，此時(shí),，走過(guò)的距離為2.5+2.5+直徑(d)，根據(jù)πd=24,，取π≈3.14,，解得d≈7.64，此時(shí)走過(guò)的最短距離為2.5+2.5+7.64=12.64(分米),。

(2)情況二：圓柱側(cè)面展開(kāi)為矩形,，兩點(diǎn)之間線段最短，我們需要將A,、B兩點(diǎn)放在同一個(gè)平面上連線即可,，壁虎所經(jīng)過(guò)的行徑為AC+CB，現(xiàn)作BD的延長(zhǎng)線DP,，使得DP+BD，連接CP,，此時(shí),，即CP=CB,，要使得AC+CP最短,，只需AC+CP最短即可。當(dāng)A,、C、P三點(diǎn)共線時(shí)距離最短,，即三點(diǎn)都在同一直線上,。為此在直角三角形ABP中,，根據(jù)勾股定理，AB=12,，,，即AP=13分米,。結(jié)合這兩種情況，第一種情況距離最短,。

因此,，選擇C選項(xiàng),。

思維導(dǎo)圖

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