直角三角形的三邊長度符合勾股定理：,，符合該定理的常用勾股數(shù)如下表所示,。

其中,，應(yīng)用最多的是3,、4、5這一組及與其成比例關(guān)系的勾股數(shù),，例如6,、8、10;12,、16,、20等。記住這些常用勾股數(shù),，一方面,，幾何計(jì)算問題中涉及直角三角形邊長計(jì)算時(shí)，大多情況下可以省去求平方開方的復(fù)雜計(jì)算,，事半功倍;另一方面,，在一些問題中，若能聯(lián)系常用勾股數(shù),，可快速求解,。下面，我們結(jié)合幾道真題來應(yīng)用一下,。

【例1】一個(gè)半圓形拱門的寬和高分別為8米和4米,，一輛貨車?yán)�著�?.8米、每層高20厘米的泡沫板通過該拱門,。如果車斗底部與地面的垂直距離為1.1米,，問要通過拱門，每次最多可以裝載幾層泡沫板?

A.9B.10

C.11D.12

【答案】B

【解析】第一步，本題考查幾何問題,，屬于平面幾何類,。

第二步，如圖所示,，在直角三角形OBC中,，OC=OA=4米，,，根據(jù)勾股定理,，BC=，車斗底部與地面的垂直距離為1.1米,，泡沫板每層高20厘米,，<11，即每次最多可以裝載10層泡沫板,。

因此,，選擇B選項(xiàng)。

【說明】已知OC=4,，OB=2.4,，對(duì)應(yīng)常用勾股數(shù)3、4,、5,，斜邊長度4=5×0.8，直角邊2.4=3×0.8,，故另一條直角邊BC=4×0.8=3.2,。可避免平方再開方的復(fù)雜計(jì)算,。

除了在直角三角形計(jì)算中聯(lián)系勾股數(shù)可快速求解,，常用勾股數(shù)還可用于符合形式的基本計(jì)算中。

【例2】把一個(gè)正方形的四個(gè)角分別切除一個(gè)等腰三角形,，剩下一個(gè)長寬不等的矩形,。若被切除部分的總面積為400平方厘米，且切除的三角形的直角邊的長度均為整數(shù),，則所剩矩形的面積為多少平方厘米?

A.320B.336

C.360D.384

E.400F.420

G.441H.464

【答案】D

【解析】第一步,，本題考查幾何問題，屬于平面幾何類,。

第二步,，設(shè)兩組等腰三角形的腰長分別為x、y,，則切除部分面積為,，化簡(jiǎn)得,，解得x=12，y=16,。

第三步,，故S矩形=S正方形-S切除部分=。

因此,，選擇D選項(xiàng),。

【說明】本題若直接根據(jù)計(jì)算x,、y的取值則過于復(fù)雜,，而此式符合勾股定理的形式，可優(yōu)先考慮聯(lián)系常用勾股數(shù)求解,。

【例3】邊長為整數(shù)且成等差數(shù)列的三個(gè)正方形,，面積之和不大于5000，其中有兩個(gè)正方形的面積之和等于第3個(gè)正方形的面積,，這樣的正方形存在多少組?

A.6B.7

C.9D.10

【答案】D

【解析】第一步,，本題考查幾何問題。

第二步,，設(shè)三個(gè)正方形邊長分別為a-n,、a、a+n(a,、n都是正整數(shù)),，那么由題意有：(a-n)²+a²=(a+n)²，化簡(jiǎn)為a²=4an,，由于a為正整數(shù)可知a=4n,。可知三個(gè)正方形邊長分別為3n,、4n,、5n，面積之和為(3n)²+(4n)²+(5n)²=50n²≤5000,，n²≤100,，n可以取1到10，共10組解,。

因此,，選擇D選項(xiàng)。

【說明】若三個(gè)正方形邊長分別記為a,b,c,，根據(jù)題意其面積符合,，則取值優(yōu)先考慮常用勾股數(shù)，又根據(jù)“邊長為整數(shù)且成等差數(shù)列”,，僅勾股數(shù)3,、4,、5及與其成比例關(guān)系的數(shù)字符合。面積之和不大于5000,，則,。c的取值為5的倍數(shù)且小于等于50，共50÷5=10個(gè),，故符合條件的共10組,。

以上就是常用勾股數(shù)在數(shù)量關(guān)系中的應(yīng)用，小伙伴們記住其應(yīng)用情況,，在后續(xù)解題中可以更快速的得出結(jié)果,。

【小結(jié)】

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