在之前的《 數(shù)量關(guān)系易錯點合集( 一 ) 》一文中，給大家總結(jié)過工程問題,、經(jīng)濟利潤問題,、幾何問題這三個數(shù)量關(guān)系模塊中的易錯點。今天我為大家總結(jié)了排列組合中平均分組問題和最值問題中一些易錯點,，希望能起到拋磚引玉的效果,，最終的目的是希望大家在日常做題的時候，能及時總結(jié)規(guī)律,，最大可能地規(guī)避容易犯的錯,，少走彎路，提高解題的正確性,。

一,、 平均分組問題中， 分辨不清 何時該 除以 對應(yīng)組數(shù)的全排列

【例 1 】 某班共有 8 名戰(zhàn)士,，現(xiàn)在從中挑出 4 人平均分成兩個戰(zhàn)斗小組分別參加射擊和格斗考核,，問共有多少種不同的方案?

A. 210 B. 420

C. 630 D. 840

【 答案 】 B 。華圖解析：這是一道排列組合中關(guān)于平均分組的問題,。根據(jù)題干要求,，平均分成兩個戰(zhàn)斗小組的 4 個人，是從 8 人中選出的,，所以先進行選人,， 8 選 4 ，與順序無關(guān),，所以是 ,。接著從選出的 4 人中，再選出兩人放在射擊小組,，是 ,，最后從剩余兩人中選兩人加入格斗小組， 很顯然,，如果表示出來就是 (不寫也可以,，因為只剩下兩人了，只有這唯一的一種選法,，壓根不需要選,，這兩個人直接就到格斗小組去了) ,。以上幾個做法屬于分步，故使用乘法,，所以最終不同的方案是 =420(種),。 所以，本題選擇 B 選項,。本道題中， 小組各不相同,，則無需最后除去之前步驟中的排序的數(shù)量,。

【例 2 】 某班共有 8 名戰(zhàn)士，現(xiàn)在從中挑出 4 人平均分成兩個戰(zhàn)斗小組 ,， 問共有多少種不同的方案?

A. 210 B. 420

C. 630 D. 840

【 答案 】 A ,。華圖解析：本題也屬于排列組合中平均分組的問題，但和例 1 中不同的是,，挑出來的 4 人,，分成的兩個戰(zhàn)斗小組沒有區(qū)別，既沒有分出 1 組和 2 組,，也沒說分出 射擊組和 格斗組 等其他兩個不同的組,。這樣一來，我們再按照例 1 中的做法恐怕就有問題了吧,。具體我們來分析,。首先仍是從 8 人中選 4 人，是 ,。為了讓大家理解得更清晰和透徹,，這里我們假設(shè)從 8 人中選出 4 人的其中一次選出的是甲、乙,、丙,、丁四個人，接著我們從選出的甲,、乙,、丙、丁中選兩人放在其中一組,，是 ,，假定這時選出的兩人是甲、乙兩人,，那么另外丙,、丁兩人自然就分在另外一組了，所以我們寫成 ,。聰明的你,，發(fā)現(xiàn)這里面的問題了沒?我們不妨再假設(shè)一次,，這次我們假設(shè)從甲、乙,、丙,、丁四個人中先選出的兩個人不是甲、乙兩人,，而是丙,、丁兩人，那么剩余甲,、乙兩人自然就到另外一組去了,。由于兩個組，并沒有任何區(qū)別,，而我們?nèi)暨�像例 1 中寫成 ,，就是默認這兩個組是有區(qū)別的了，所以本題我們再這樣做肯定是有問題的,。 是考慮到了兩組的排序的,，相當于里面多乘了兩個元素的排序，即 ,，故最終方案數(shù)需要在基礎(chǔ)上除掉兩個元素的排序,，即 =210(種) 。 因此,，本題選擇 A 選項,。 本題中兩個戰(zhàn)斗小組沒有任何差別，則需要在之前的步驟中除去 重復(fù) 的排序數(shù)量,。

二,、 最不利構(gòu)造問題中容易忘記在最不利情況 數(shù)之后 再加一

【例 3 】 從一副完整的撲克牌中至少抽出多少張牌，才能保證至少有 5 張牌的花色相同?

A. 17 B. 18

C. 19 D. 20

【答案】 C ,。華圖解析： 我們都知道,， 最不利構(gòu)造類題目的答案 是 “所有不利情況+ 1 ”。 經(jīng)常有考生在求出所有最不利情況后,，忘記加最后的 1 ,，導(dǎo)致前功盡棄，而通過觀察最不利構(gòu)造類的題目選項,，也不難發(fā)現(xiàn),，往往都至少有兩個選項是相差 1 的，這也是命題老師命題的策略,，既然有人會忘記 加 1 ,，那就給你這個答案，讓你能選到這個“錯誤”的答案,。我們來看看這道題如何去做,，通過題目知道,， 一副撲克有 4 種花色，要保證抽出的牌中有 5 張牌花色相同,， 那最 不利情況 就 是每種花色均抽到 4 張,，再加兩張大小王，共 4 × 4 + 2 = 18 (張),。 那么要保證至少有 5 張牌的花色相同 的話 ,，還需要在這個最不利的情況上加 1 ，所以就是 18 + 1 = 19 (張)牌,。因此,，選擇 C 選項 。 ( 若忘記加 1 ,，就會錯選 B 選項 )

我們再來 看一道 類似的題：

【例 4 】 某單位五個處室分別有職工 5 、 8 ,、 18 ,、 21 和 22 人，現(xiàn)有一項工作要從該單位隨機抽調(diào)若干人,，問至少要抽調(diào)多少人,，才能保證抽調(diào)的人中一定有兩個處室的人數(shù)和超過 15 人?

A. 34 B. 35

C. 36 D. 37

【答案】 B 。華圖解析： 由“至少”“保證”可知本題為最不利構(gòu)造問題,，答案為最不利情況數(shù)+ 1 ,。要保證抽調(diào)的人中一定有兩個處室的人數(shù)和超過 15 人，最不利情況為 5 個人,、 8 個人的處室全部抽調(diào),，其余 3 個科室各抽調(diào) 7 人。 則依照題目意思,，最 不利 的情況是 抽調(diào) 5 + 8 + 7 + 7 + 7 = 3 4 (人),。 而抽調(diào) 3 4 人是運氣最差的情況， 在此基礎(chǔ)上,， 再抽調(diào) 1 人,，就能同時滿足題目中“至少”和“保證”了，所以最后的答案是 3 4 + 1 = 35( 人 ) ,， 因此,，選擇 B 選項。

三,、 數(shù)列構(gòu)造問題中,，容易忽略每個對象分得的各不相同還是可以相同

【例 5 】 現(xiàn)有 21 本故事書要分給 5 個人閱讀，如果每個人得到的數(shù)量均不相同,，那么得到故事 書數(shù)量 最多的人至少可以得到( )本,。

A. 5 B. 7

C. 9 D. 11

【答案】 B ,。華圖解析： 在總數(shù)一定的條件下，要使得到故事 書數(shù)量 最多的人本數(shù)最少,，那么其他人得到的要盡可能多,。設(shè)得到故事 書數(shù)量 最多的人可以得到 x 本， 題目中強調(diào)了,， 每個人得到的數(shù)量均不相同,，則其 他 4 個 人得到的故事書 的 數(shù)量 分別為 ( x - 1 )、( x - 2 ),、( x - 3 ),、( x - 4 )本。根據(jù)題意可 列方程為 x +( x - 1 )+( x - 2 )+( x - 3 )+( x - 4 )= 21 ,，解得 x = 6.2 本 ,。 則 最多的人至少可以得到 7 本。因此,， 本題 選擇 B 選項,。 若將本題當成了 每個人分得的數(shù)量都相同，則會錯選成 A 選項,。 在本道題中,，很明顯，題目中強調(diào)了每個人 得 到的數(shù)量是各不相同的,，這樣的情況不太容易被忽略,，但是我們?nèi)绻�解答習慣了這樣要求數(shù)量各不相同的題目，便會由于慣性,，即使遇到了有些題目中沒有說明各不相同的,，也按照這種方法去解答，那樣就錯了,，下面的例 6 就是這樣的情況,。

【例 6 】 有 100 人參加五項活動，參加人數(shù)最多的活動的人數(shù)不超過參加人數(shù)最少活動人數(shù)的兩倍,， 問參加 人數(shù)最少的活動最少有多少人參加?

A.10 B.11

C.12 D.13

E.14 F.15

G.16 H.17

【答案】 C ,。華圖解析： 設(shè)人數(shù) 最少的 項目有 x 人參加， 因為題目中沒有強調(diào)參加五項活動的人數(shù)各不相同,，說明是可以相同的,，為了使參加人數(shù)最少的有盡可能少的人參加，那么除參加人數(shù)最少的項目,，其余四項應(yīng)該人數(shù)均為 2x 人,。所以 五項活動的人數(shù) 一共 為 9x = 100 ，解得 x ≈ 11.1 ,，即 參加人數(shù)最少的活動,， 最少有 12 人參加,。因此，選擇 C 選項,。

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