在之前的《 數(shù)量關(guān)系易錯(cuò)點(diǎn)合集( 一 ) 》一文中,，給大家總結(jié)過工程問題、經(jīng)濟(jì)利潤問題,、幾何問題這三個(gè)數(shù)量關(guān)系模塊中的易錯(cuò)點(diǎn),。今天我為大家總結(jié)了排列組合中平均分組問題和最值問題中一些易錯(cuò)點(diǎn)，希望能起到拋磚引玉的效果,，最終的目的是希望大家在日常做題的時(shí)候,，能及時(shí)總結(jié)規(guī)律，最大可能地規(guī)避容易犯的錯(cuò),，少走彎路,，提高解題的正確性。

一,、 平均分組問題中,， 分辨不清 何時(shí)該 除以 對應(yīng)組數(shù)的全排列

【例 1 】 某班共有 8 名戰(zhàn)士，現(xiàn)在從中挑出 4 人平均分成兩個(gè)戰(zhàn)斗小組分別參加射擊和格斗考核,，問共有多少種不同的方案?

A. 210 B. 420

C. 630 D. 840

【 答案 】 B ,。華圖解析：這是一道排列組合中關(guān)于平均分組的問題。根據(jù)題干要求,，平均分成兩個(gè)戰(zhàn)斗小組的 4 個(gè)人,，是從 8 人中選出的，所以先進(jìn)行選人,， 8 選 4 ,，與順序無關(guān)，所以是 ,。接著從選出的 4 人中,，再選出兩人放在射擊小組，是 ,，最后從剩余兩人中選兩人加入格斗小組,， 很顯然，如果表示出來就是 (不寫也可以,，因?yàn)橹皇Ｏ聝扇肆�,，只有這唯一的一種選法，壓根不需要選,，這兩個(gè)人直接就到格斗小組去了) 。以上幾個(gè)做法屬于分步,，故使用乘法,，所以最終不同的方案是 =420(種)。 所以，本題選擇 B 選項(xiàng),。本道題中,， 小組各不相同，則無需最后除去之前步驟中的排序的數(shù)量,。

【例 2 】 某班共有 8 名戰(zhàn)士,，現(xiàn)在從中挑出 4 人平均分成兩個(gè)戰(zhàn)斗小組 ， 問共有多少種不同的方案?

A. 210 B. 420

C. 630 D. 840

【 答案 】 A ,。華圖解析：本題也屬于排列組合中平均分組的問題,，但和例 1 中不同的是，挑出來的 4 人,，分成的兩個(gè)戰(zhàn)斗小組沒有區(qū)別,，既沒有分出 1 組和 2 組，也沒說分出 射擊組和 格斗組 等其他兩個(gè)不同的組,。這樣一來,，我們再按照例 1 中的做法恐怕就有問題了吧。具體我們來分析,。首先仍是從 8 人中選 4 人,，是 。為了讓大家理解得更清晰和透徹,，這里我們假設(shè)從 8 人中選出 4 人的其中一次選出的是甲,、乙、丙,、丁四個(gè)人,，接著我們從選出的甲、乙,、丙,、丁中選兩人放在其中一組，是 ,，假定這時(shí)選出的兩人是甲,、乙兩人，那么另外丙,、丁兩人自然就分在另外一組了,，所以我們寫成 。聰明的你,，發(fā)現(xiàn)這里面的問題了沒?我們不妨再假設(shè)一次,，這次我們假設(shè)從甲、乙,、丙,、丁四個(gè)人中先選出的兩個(gè)人不是甲、乙兩人，而是丙,、丁兩人,，那么剩余甲、乙兩人自然就到另外一組去了,。由于兩個(gè)組,，并沒有任何區(qū)別，而我們?nèi)暨�像例 1 中寫成 ,，就是默認(rèn)這兩個(gè)組是有區(qū)別的了,，所以本題我們再這樣做肯定是有問題的。 是考慮到了兩組的排序的,，相當(dāng)于里面多乘了兩個(gè)元素的排序,，即 ，故最終方案數(shù)需要在基礎(chǔ)上除掉兩個(gè)元素的排序,，即 =210(種) ,。 因此，本題選擇 A 選項(xiàng),。 本題中兩個(gè)戰(zhàn)斗小組沒有任何差別,，則需要在之前的步驟中除去 重復(fù) 的排序數(shù)量。

二,、 最不利構(gòu)造問題中容易忘記在最不利情況 數(shù)之后 再加一

【例 3 】 從一副完整的撲克牌中至少抽出多少張牌,，才能保證至少有 5 張牌的花色相同?

A. 17 B. 18

C. 19 D. 20

【答案】 C 。華圖解析： 我們都知道,， 最不利構(gòu)造類題目的答案 是 “所有不利情況+ 1 ”,。 經(jīng)常有考生在求出所有最不利情況后，忘記加最后的 1 ,，導(dǎo)致前功盡棄,，而通過觀察最不利構(gòu)造類的題目選項(xiàng)，也不難發(fā)現(xiàn),，往往都至少有兩個(gè)選項(xiàng)是相差 1 的,，這也是命題老師命題的策略，既然有人會忘記 加 1 ,，那就給你這個(gè)答案,，讓你能選到這個(gè)“錯(cuò)誤”的答案。我們來看看這道題如何去做,，通過題目知道,， 一副撲克有 4 種花色，要保證抽出的牌中有 5 張牌花色相同,， 那最 不利情況 就 是每種花色均抽到 4 張,，再加兩張大小王,，共 4 × 4 + 2 = 18 (張),。 那么要保證至少有 5 張牌的花色相同 的話 ,，還需要在這個(gè)最不利的情況上加 1 ，所以就是 18 + 1 = 19 (張)牌,。因此,，選擇 C 選項(xiàng) 。 ( 若忘記加 1 ,，就會錯(cuò)選 B 選項(xiàng) )

我們再來 看一道 類似的題：

【例 4 】 某單位五個(gè)處室分別有職工 5 ,、 8 、 18 ,、 21 和 22 人,，現(xiàn)有一項(xiàng)工作要從該單位隨機(jī)抽調(diào)若干人，問至少要抽調(diào)多少人,，才能保證抽調(diào)的人中一定有兩個(gè)處室的人數(shù)和超過 15 人?

A. 34 B. 35

C. 36 D. 37

【答案】 B ,。華圖解析： 由“至少”“保證”可知本題為最不利構(gòu)造問題，答案為最不利情況數(shù)+ 1 ,。要保證抽調(diào)的人中一定有兩個(gè)處室的人數(shù)和超過 15 人,，最不利情況為 5 個(gè)人、 8 個(gè)人的處室全部抽調(diào),，其余 3 個(gè)科室各抽調(diào) 7 人,。 則依照題目意思，最 不利 的情況是 抽調(diào) 5 + 8 + 7 + 7 + 7 = 3 4 (人),。 而抽調(diào) 3 4 人是運(yùn)氣最差的情況,， 在此基礎(chǔ)上， 再抽調(diào) 1 人,，就能同時(shí)滿足題目中“至少”和“保證”了,，所以最后的答案是 3 4 + 1 = 35( 人 ) ， 因此,，選擇 B 選項(xiàng),。

三、 數(shù)列構(gòu)造問題中,，容易忽略每個(gè)對象分得的各不相同還是可以相同

【例 5 】 現(xiàn)有 21 本故事書要分給 5 個(gè)人閱讀,，如果每個(gè)人得到的數(shù)量均不相同，那么得到故事 書數(shù)量 最多的人至少可以得到( )本,。

A. 5 B. 7

C. 9 D. 11

【答案】 B ,。華圖解析： 在總數(shù)一定的條件下，要使得到故事 書數(shù)量 最多的人本數(shù)最少,，那么其他人得到的要盡可能多,。設(shè)得到故事 書數(shù)量 最多的人可以得到 x 本,， 題目中強(qiáng)調(diào)了， 每個(gè)人得到的數(shù)量均不相同,，則其 他 4 個(gè) 人得到的故事書 的 數(shù)量 分別為 ( x - 1 ),、( x - 2 )、( x - 3 ),、( x - 4 )本,。根據(jù)題意可 列方程為 x +( x - 1 )+( x - 2 )+( x - 3 )+( x - 4 )= 21 ，解得 x = 6.2 本 ,。 則 最多的人至少可以得到 7 本,。因此， 本題 選擇 B 選項(xiàng),。 若將本題當(dāng)成了 每個(gè)人分得的數(shù)量都相同,，則會錯(cuò)選成 A 選項(xiàng)。 在本道題中,，很明顯,，題目中強(qiáng)調(diào)了每個(gè)人 得 到的數(shù)量是各不相同的，這樣的情況不太容易被忽略,，但是我們?nèi)绻�解答�?xí)慣了這樣要求數(shù)量各不相同的題目,，便會由于慣性，即使遇到了有些題目中沒有說明各不相同的,，也按照這種方法去解答,，那樣就錯(cuò)了，下面的例 6 就是這樣的情況,。

【例 6 】 有 100 人參加五項(xiàng)活動,，參加人數(shù)最多的活動的人數(shù)不超過參加人數(shù)最少活動人數(shù)的兩倍， 問參加 人數(shù)最少的活動最少有多少人參加?

A.10 B.11

C.12 D.13

E.14 F.15

G.16 H.17

【答案】 C ,。華圖解析： 設(shè)人數(shù) 最少的 項(xiàng)目有 x 人參加,， 因?yàn)轭}目中沒有強(qiáng)調(diào)參加五項(xiàng)活動的人數(shù)各不相同，說明是可以相同的,，為了使參加人數(shù)最少的有盡可能少的人參加,，那么除參加人數(shù)最少的項(xiàng)目，其余四項(xiàng)應(yīng)該人數(shù)均為 2x 人,。所以 五項(xiàng)活動的人數(shù) 一共 為 9x = 100 ,，解得 x ≈ 11.1 ，即 參加人數(shù)最少的活動,， 最少有 12 人參加,。因此，選擇 C 選項(xiàng),。

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