排列組合問題是公考中的常駐題型,，好多同學(xué)在學(xué)習(xí)的時(shí)候,，對(duì)于基礎(chǔ)的排列和組合已經(jīng)掌握,，但是對(duì)于排列組合中的各類技巧運(yùn)用還不是很熟練,，今天我們就排列組合中技巧之一隔板法,，做一個(gè)系統(tǒng)的學(xué)習(xí)。

在學(xué)習(xí)隔板法的最開始,，我們要明確隔板法的適用范圍：運(yùn)用在相同元素的分配中,。那么說(shuō)到相同元素，各位同學(xué)想到了哪些現(xiàn)實(shí)中的情況呢?我們一起來(lái)梳理一下：比如分蘋果,，分梨子這種情況,，我們?cè)诳紤]的時(shí)候，其實(shí)是不會(huì)關(guān)注哪個(gè)蘋果大,，哪個(gè)蘋果小的,，我們一般只考慮數(shù)量問題，誰(shuí)分了1個(gè)蘋果,，誰(shuí)分了2個(gè)蘋果,。同樣的情況還有分配名額，分配人員指標(biāo)等,，這些情況我們都只考慮分配時(shí)候的數(shù)量多少問題,。這樣的情景我們就稱之為相同元素的分配問題。

了解了適用范圍,，我們下一步就要了解一下隔板法的具體用法,。通常情況，我們使用隔板法的時(shí)候還會(huì)有一個(gè)核心條件：每個(gè)分配單元至少1(N)個(gè)元素,。比如分蘋果,，每個(gè)小朋友至少得一個(gè)蘋果;分配名額，每個(gè)單位至少有一個(gè)名額,。這樣的時(shí)候我們?cè)趺唇忸}呢?把N個(gè)相同元素平均分給M個(gè)單元,，則有種情況。

那么這個(gè)式子是怎么推導(dǎo)出來(lái)的呢,，我們下面就來(lái)具體分析一下,。

我們引入一個(gè)例題：老王和老李是鄰居，現(xiàn)在有5個(gè)蘋果,，每個(gè)人至少拿一個(gè)蘋果,，有幾種情況呢?

如上圖所示，這就是我們使用隔板法的原理,。我們要將5個(gè)蘋果分給2個(gè)人,，每個(gè)人至少要拿一個(gè)，那就等價(jià)于要把蘋果分為兩堆,，一人拿一堆,，那么只要在5個(gè)蘋果產(chǎn)生的4個(gè)內(nèi)部空隙中插入一個(gè)板子即可。而老王和老李只要在隔板放下后，分別拿走面前的一堆蘋果,，就能保證每個(gè)人至少得到一個(gè)蘋果了,。

所以此題使用隔板法得到的式子便是= =4。其中4代表的是5個(gè)蘋果產(chǎn)生了4個(gè)空隙,，我們要往這四個(gè)空隙種插入隔板,，而1代表的是分作兩堆只需要插入1個(gè)板子即可。

由此我們可以推出以下結(jié)論：N個(gè)相同元素分配給M個(gè)分配單元,，所有的情況數(shù)為：

了解了隔板法的基本原理,，讓我們用例題來(lái)檢驗(yàn)一下我們的學(xué)習(xí)成果。

【例1】(2020年云南)某城市一條道路上有4個(gè)十字路口,，每個(gè)十字路口至少有一名交通協(xié)管員,，現(xiàn)將8個(gè)協(xié)管員名額分配到這4個(gè)路口，則每個(gè)路口協(xié)管員名額的分配方案有：

A.35種

B.70種

C.96種

D.114種

【答案】A

【解析】觀察這道題,，要將8個(gè)協(xié)管員名額分配到4個(gè)路口,，協(xié)管員名額屬于相同元素，固這道題可以使用隔板法解題,。

8個(gè)元素產(chǎn)生7個(gè)內(nèi)部空位,，分配個(gè)4個(gè)分配單元需要3個(gè)隔板，所以此題的情況數(shù)為= =35種,。

結(jié)合以上所學(xué)的知識(shí),，以后再遇到分配相同元素的排列組合題的時(shí)候，同學(xué)們可以使用隔板法解題,。

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