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巧解三類“極值問(wèn)題”

數(shù)學(xué)運(yùn)算一直是大家比較頭痛的問(wèn)題,，尤其是其中相對(duì)較難的極值問(wèn)題(又稱為構(gòu)造問(wèn)題),。

一,、同色抽取的極值問(wèn)題,。該類問(wèn)題一般表述為：有若干種不同顏色的紙牌,，彩球等,，從中至少抽出幾個(gè)，才能保證在抽出的物品中至少有n個(gè)顏色是相同的,。解題常用通法：先對(duì)每種顏色抽取(n-1)個(gè),，如果某種顏色的個(gè)數(shù)不夠(n-1)的，就對(duì)這種顏色全取光,，然后再將各種顏色的個(gè)數(shù)加起來(lái),，再加1，即為題目所求,。

【例1】從一副完整的撲克牌中,，至少抽出( )張牌，才能保證至少6張牌的花色相同,。A. 21 B. 22　C. 23 D. 24

【解析】先對(duì)四種常見(jiàn)花色“桃杏梅方”各抽取n-1=5個(gè),，總共抽取5×4=20張�,？紤]到這是一副完整的撲克牌,，再對(duì)特殊的花色“大小王”進(jìn)行抽取，大小王只有2張,，不夠n-1的要求,，就對(duì)其全部取光，總共抽取2張,。將以上各種顏色的個(gè)數(shù)加起來(lái),，再加1，即5×4+2+1=23張,，即為所求,，答案選C。

二,、特定排名的極值問(wèn)題,。該類問(wèn)題一般表述為：若干個(gè)整數(shù)量的總和為定值，且各不相同(有時(shí)還會(huì)強(qiáng)調(diào)：各不為0或最大不能超過(guò)多少)，求其中某一特定排名的量所對(duì)應(yīng)的最大值或最小值。解題常用通法：將所求量設(shè)為n,，如果要求n最大的情況，則考慮其它量最小的時(shí)候;反之,，要求n最小的情況，則考慮其它量盡可能大,。

【例2】5人的體重之和是423斤,，他們的體重都是整數(shù)，并且各不相同,，則體重最輕的人,，最重可能重( ),。　A. 80斤 B. 82斤　　C. 84斤 D. 86斤

【解析】體重最輕的人,，是第5名,，設(shè)為n�,？紤]其最重的情況,，則其他人盡可能輕。第四名的體重大于第五名n,，但又要盡可能輕且不等于n,，故第四名是n+1。同理,，第三名至第一名依次大于排名靠后的人且取盡可能小的值,，故依次為n+2，n+3,，n+4,。　　五個(gè)人盡可能輕的情況下,，總重量為n+n+1+n+2+n+3+n+4=4n+10,。　　實(shí)際總重量423應(yīng)大于等于盡可能輕的總重量,，故4n+10≤423,，解得n≤82.6，所以n最大為82斤,，答案選B,。

三、多集合的極值問(wèn)題,。該類問(wèn)題一般表述為：在一個(gè)量的總和(即全集)里,，包含有多種情況(即多個(gè)子集)，求這多種情況同時(shí)發(fā)生的量至少為多少,。解題常用通法：多種情況交叉發(fā)生的量完全不知道，故無(wú)法正面求解,，所以將題目轉(zhuǎn)化為：至多有多少量并不是多種情況同時(shí)發(fā)生,，也就是只要有一種情況不發(fā)生即可。求出題目中多個(gè)情況不發(fā)生的量,，相加即可得到只要有一種情況不發(fā)生的最大值,，再用總題量相減，即可得所求量,。計(jì)算通式：總和M,，每種情況發(fā)生的量分別為a,，b，c,，d,，則多種情況同時(shí)發(fā)生的量至少為M-【(M-a)+(M-b)+(M-c)+(M-d)】

【例3】某社團(tuán)共有46人，其中35人愛(ài)好戲劇,，30人愛(ài)好體育,，38人愛(ài)好寫作，40人愛(ài)好收藏,，這個(gè)社團(tuán)至少有多少人以上四項(xiàng)活動(dòng)都喜歡?( )　A.5 B.6　C.7 D.8

【解析】每種活動(dòng)不喜歡的人數(shù)分別為46-35=11人,，16人，8人,，6人,。故四種活動(dòng)都喜歡的反面——“四種活動(dòng)不都喜歡”——即只要有一種活動(dòng)不喜歡的人數(shù)最多為11+16+8+6=41人，所以四種活動(dòng)都喜歡的人數(shù)最少為46-41=5人,，答案選A,。

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